В выпуклом четырехугольнике KLMN длина отрезка, соединяющего середины диагоналей KM и LN, равна одному метру. Прямые LN и KN перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон KL и MN.

Посмотрите чертеж. Итак, PR = TQ = KN/2 - это средние линии в треугольниках. Аналогично RQ = PT = LM/2. Поэтому PRQT - параллелограмм. В нем задана длина отрезка RT = 1, надо найти PQ. Уже ясно, что от величины LN ответ не зависит - все определяется отрезками KN и LM. Мы можем смело изменять LN, результат не изменится. Однако есть пределы - фигура обязана оставаться выпуклой. На рисунке справа треугольник, который является вырожденным 4-угольником из задачи. Если на обеих рисунках KN и LM попарно равны, то и PQ равны. 

Вот решение. На втором прикрепленном чертеже показаны 2 4-угольника (KLMN и K1LM1N), полностью удовлетворяющие условиям задачи и имеющие общий отрезок RT. При этом PQ не равно P1Q1. Это доказывает, что задача не может быть решена.   Эти 3 строчки являются решением... однако все еще проще. На самом деле, из чертежа понятно, что если ввести 2 вектора k и i, как показано на первом чертеже, то вектор RT = (k - i)/2; а вектор PQ = (k + i)/2; Зная модуль RT, нельзя вычислить PQ. Поэтому с точки зрения векторной алгебры нерешаемость задачи вообще доказывается элементарно без всяких дополнительных построений.