Середины сторон параллелограмма являются вершинами прямоугольника. Докажите что данный параллелограмм - ромб

Из условия автоматически следует, что диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны (потому что стороны прямоугольника параллельны диагоналям - это же - средние линии:) в треугольниках, на которые диагонали делят параллелограмм). Этого уже более чем достаточно, но для вящей точности скажу, что раз диагонали перпендикулярны, то КАЖДАЯ делит параллелограмм на РАВНОБЕДРЕННЫЕ треугольники, потому что в них медианы и высоты к основанию (которым и является диагональ) совпадают. Значит все стороны равны между собой. 
(Не будем доказывать, что диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам.)