Из точки на основании треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. они разбивают треугольник на параллелограмм и два треугольника с площадями S₁ и S₂. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть точка на стороне АС = с (не важно, как обозначить, это не понадобится в решении) отсекает отрезок АМ = x*c. Тогда второй отрезок (1 - х)*с. х, конечно, неизвестно. Но. Треугольники, отсеченные параллельными прямыми, подобны исходному. Это означает, что у первого треугольника все стороны относятся к сторонам исходного тр-ка, как х, а площади их относятся, как х^2, то естьS1 = S*x^2;S - площадь треугольника, тоже неизвестная, как и х.

Для второго треугольника, тоже подобного исходному, аналогичное выражениеS2 = S*(1 - x)^2;
Делим второе соотношение на первое, и получаем уравнение для х(1 - х)^2/x^2 = S2/S1;
Извлекаем корень и решаем относительно х, получаемx = корень(S1)/(корень(S2) + корень(S1));
Подставляем опять в первое соотношение, получаем SS = S1/x^2 = (корень(S2) + корень(S1))^2 = S1 + S2 + 2*(корень(S2*S1));
Площадь параллелограмма равна S - S1 - S2, поэтому

Ответ2*(корень(S2*S1)). Удвоенное среднее геометрическое.