Докажите, что в любом четырехугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Решение. Если данный четырехугольник выпуклый, то согласно задаче 814 его диагонали пересекаются, поэтому любые две противоположные вершины четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Пусть ABCD — невыпуклый четырехугольник. Тогда одна из прямых, содержащих сторону четырехугольника, например прямая АВ, пересекает сторону CD в некоторой точке М. Отрезки АВ и CD не пересекаются, поэтому возможны два случая:

а) Точка А лежит на отрезке ВМ (рис. 50, а). В этом случае точки В и М лежат по разные стороны от прямой АС. Отрезок MD не пересекается с прямой АС, поэтому точка D лежит по ту же сторону от прямой АС, что и точка М. Итак, вершина В лежит по одну сторону от прямой АС, а противоположная вершина D — по другую сторону от этой прямой.

б) Точка В лежит на отрезке AM (рис. 50, б). Аналогично случаю а) можно доказать, что противоположные вершины А и С лежат по разные стороны от прямой BD.