Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются.

Решение. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Докажем, что его диагонали АС и BD пересекаются.

Так как четырехугольник ABCD выпуклый, то точка С лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка D, и по ту же сторону от прямой AD, что и точка В. Поэтому точка С лежит внутри угла BAD. Следовательно, луч АС проходит внутри этого угла и поэтому пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла, в частности, пересекает отрезок BD. Аналогично можно доказать, что луч BD

пересекает отрезок АС. Отсюда следует, что точка пересечения луча АС и отрезка BD лежит на отрезке АС, т. е. отрезки АС и BD пересекаются.