Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведенные прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащи

Решение.

Поскольку точка А₁ лежит на биссектрисе внешнего угла В треугольника ABC, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. По аналогичной причине она равноудалена от прямых АС и ВС. Следовательно,

она равноудалена от прямых АВ и АС, а значит, лежит на биссектрисе угла ВАС. Иными словами, она лежит на прямой, содержащей биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины А.