Докажите, что расстояние от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.

Выберем произвольные точки А и В на плоскости α, параллельной плоскости β.

Прямая АВ лежит в плоскости α поэтому параллельна плоскости β. Опустим перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ на плоскость β. По теореме 18.4 прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны и лежат в одной плоскости; у четырехугольника АА₁В₁В противоположные стороны параллельны, значит, это параллелограмм; так что, АА₁ = ВВ₁. Что и требовалось доказать.