В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.

Проведем высоту SO пирамиды, и SH⊥AC. Так как ΔASC равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так что, если AS= X то

В равностороннем ΔАВС радиус описанной окружности равен

В прямоугольном ΔASO по теореме Пифагора:

Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку А. ∠SAD=90° — как вписанный угол, опирающийся на диаметр SD. Так как в прямоугольном треугольнике катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, то

в ΔASD:

так что

Поэтому высота пирамиды равна: