В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.

Проведем в пирамиде высоту SO и SH⊥DC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OH⊥DC. Тогда, так как ΔSDС равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так что

Далее в ΔSHO:

Так что

Далее, ∠SBM=90°, так как этот вписанный угол опирается на диаметр SM. Знаем, что катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, так что ВS²=SМ⋅SO, так что

Так как радиус описанного шара

то

Далее, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOH. OO₂=EO₂ — радиус вписанного шара. Имеем ΔSHО ~ ΔSO₂E:

Так что

или

Так что