Каждое ребро параллелепипеда равно 1см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.

Проведем перпендикуляр А₁О к плоскости основания, а также A₁M⊥AD и A₁K⊥AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OM⊥AD и ОК⊥АВ. ΔAA₁М=ΔAA₁K (по гипотенузе и острому углу 2а). Так что AK=AM=AA₁⋅cos2a=cos2a. Далее, ΔAМО=ΔAКО (по гипотенузе и катету). Так что ∠КAО=∠МAО=α.

Далее, в прямоугольном ΔAA₁О по теореме Пифагора получаем:

Далее, основание параллелепипеда — ромб с площадью S=AВ⋅AD⋅sinα=1 ⋅ 1sin2α=sin2α (см²). Тогда объем