Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Проведем высоту пирамиды O₁O. В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, вписанной в основание. Тогда проведем ОЕ⊥АВ. По теореме о трех перпендикулярах O₁Е⊥АВ. Так что ОЕ — радиус вписанной окружности, а ∠O₁EO=45° как линейный угол данного двугранного угла.

Тогда

Далее в ΔО₁ОЕ:

(так как ΔО₁ОЕ — равнобедренный).

Далее площадь основания равна площади 6 равносторонних треугольников со стороной а:

Так что