Найти объем пирамиды с четырьмя вершинами, найти площадь грани, высоту из вершины, опущенную на эту грань

Если пирамида SABC задана координатами S(xs,ys,zs), A(xa,ya,za), B(xb,yb,zb), C(xc,yc,zc), то сначала найдём координаты трёх векторов, задающих "каркас" пирамиды:


SA{xa-xs, ya-ys, za-zs} = SA{p1,p2,p3};

SB{xb-xs, yb-ys, zb-zs} = SA{q1,q2,q3};

SC{xc-xs, yc-ys, zc-zs} = SA{r1,r2,r3}.



Объм пирамиды V равен модулю смешанного произведения этих трёх векторов, то есть модулю определителя, строками которого являются строки:


p1 p2 p3

q1 q2 q3

r1 r2 r3



то есть V = |p1q2r3+r1p2q3+q1r2p3-r1q2p3-p1r2q3-q1p2r3|.



Для нахождения площади грани АВС надо сначала найти модуль векторного произведения векторов АВ{u1,u2,u3} и АС{v1,v2,v3} (координаты этих векторов подсчитываются по координатам точек А, В, С точно так же, как подсчитывались координаты векторов SA, SB, SC):


|u2v3-v2u3,v1u3-u1v3,u1v2-v1u2|



Этот модуль равен площади параллелограмма, натянутого на векторы АВ и АС, поэтому площадь S грани АВС равна половине найденного выражения.



Высоту Н находим находим из формулы V = HS/3.