Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отрезок MN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен √15. Около треугольника описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найти длину отрезка ОМ

Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника. Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника).
Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
. Поэтому AC=2*MN=2*корень (15). Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогда АК=СК=12*АС=12* 2*корень (15)=корень(15).1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда:По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2OK^2=8^2-(корень(15))^2=49ОК=7ВК=ОВ+ОК=8+7=15.
. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.ML=NL=12*MN=12*корень (15).
. По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KLBL=KL=12*BK=12*15=7.5LO=OB-BLLO=8-7.5=0.5MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.
. По теореме Пифагора:OM^2=LO^2+ML^2OM^2=0.5^2+(12*корень (15))^2=4OM=22 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда:По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2OK^2=8^2-(корень(15))^2=49ОК=7ВК=ОВ-ОК=8-7=1.
. По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.ML=NL=12*MN=12*корень (15).
. По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KLBL=KL=12*BK=12*1=0.5LO=OB-BLLO=8-0.5=7.5MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO. По теореме Пифагора:OM^2=LO^2+ML^2OM^2=7.5^2+(12*корень (15))^2=60OM=корень(60)=2*корень(15)