Даны точки A(-8;3), B(-7;-1), C(-23;-5). В треугольнике ABCнайдите, а) угол B; б) координаты центра тяжести; в) координаты центра описанной окружности.

Решение: Найдем длины сторон треугольника по формуле длины отрезка по заданным координатам его вершин:d=корень((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)AB=корень((-8-(-7))^2+(3-(-1))^2)=корень(17)BC= корень((-7-(-23))^2+(-1-(-5))^2)=корень(272)=4*корень(17) АС= корень((-8-(-23))^2+(3-(-5))^2)=17По теореме косинусовcos B=(AB^2+BC^2-AC^2)(2*AB*BC)==(17+272-289)(2* корень(17)* 4*корень(17))=0значит угол B равен 90 градусовили по обратной теореме Пифагоратак как AB^2+BC^2=AB^2  (17+272=289), то угол В равен 90 градусовб) центр тяжести треугольника – точка пересечения медиан. Медианы треугольника пересекаються и точкой пересечения делятся в отношении 2:1Ищем координаты точки D – середины отрезка AB по соответствующим формуламx=(x1+x2)2 y=(y1+y2)2 x=(-8+(-7))2=-7.5y=(3+(-1))2=1D (-7.5;1) Ищем координаты центра тяжести M по сотвествующим формуламx=(x1+m*x2)(1+m), y=(y1+m*y2)(1+m)x=(-23+2*(-7.5))(1+2)=-383 y=(-5+2*1)(1+2)=-1M(-383;-1)в) центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, пусть O (x;y) – координаты центра описанной окружности,по формуле длины отрезка по заданным координатам вершин, составляем систему уравнений:(x+8)^2+(y-3)^2=(x+7)^2+(y+1)^2(x+8)^2+(y-3)^2=(x+23)^2+(y+5)^2Решаем системуx^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+14x+49+y^2+2y+1x^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+46x+529+y^2+10y+25,2x-8y=-23-30x-16y=481,-4x+16y=46-30x-16y=481,2x-8y=-23-34x=527x=-15.52*(-15.5)-8y=-23-8y=-23+31=8y=-1O (-15.5,-1) Примечание так как треугольник прямоугольній, центр описанной окружности можно было найти – как середину гипотенузы. Ищем координаты точки O – середины отрезка AC по соответствующим формуламx=(x1+x2)2 y=(y1+y2)2 x=(-8+(-23))2=-15.5y=(3+(-5))2=-1O (-15.5;-1)