1. Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А касается первых двух окружностей. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

3. В треугольник со сторонами 12 см, 9 см и 6 см вписана окружность. Найти отрезки, на которые точки касания окружности делят стороны треугольника.

4. Доказать, что диагонали трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, пересекаются в одной точке.

1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения. Из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:О1О3=О2О3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти. Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:О3А^2 = (x+6)^2 - 36Итак получим уравнение:(12-x)^2 = (x+6)^2 - 3636x = 144   x = 4Ответ: 4 см.2. АС = 6, АВ = ВС = 5.  АN,BD,CM - высотыAО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABDcosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4BO = BD - OD = 4 - (9/4) = 7/4Ответ: 15/4;  15/4;  7/4.3. Центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.r - радиус вписаной окр-ти. Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2). Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa). Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.r=?   S = pr   и   S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2S = (27кор15)/4    r = S/p =(кор15)/2Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinB = (кор15)/4По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB,  sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16. Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8. Считаем тангенсы:tg(A/2) = (кор15)/15;  tg(B/2) = (кор15)/3;  tg(C/2) = (кор15)/9. Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2. Попарно по сторонам:Ответ:15/2 и 9/2;  9/2 и 3/2;  15/2 и 3/2.