Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. найти отношение радиусов вписанной и
описанной окружности относительно этого треугольника.

Воспользуемся двумя формулами для площади тр-ка:S = abc/(4R)S = pr,
где p = (a+b+c)/2, r и R - радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Тогда:  R = (abc)/(4S)  r = S/p r/R = (4S^2) / (pabc) (1)
Площадь через стороны по формуле Герона: (p= (13+14+15)/2 = 21)S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) =
= 21*8*7*6 = 7056r/R = (4*7056) / (21*13*14*15) = 32/65  (примерно 1:2)
Ответ: r/R = 32/65 (примерно 1:2)

вписанной окружности r=2S/(a+b+c)  описанной окружностиR=abc/4S  
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))p=½(a+b+c) (p - половину периметра треугольника)
p=½(13+14+15)
p=½*42p=21S=√(21(21-13)(21-14)(21-15))
S=√(21*8*7*6)S=√7056S=84 r=2*84/(13+14+15)r=168/42r=4 
R=13*14*15/(4*84)R=2730/336R=8,125 r/R=4/8,125r/R=4/(8125/1000)r/R=
=4*1000/8125r/R=4000/8125r/R=32/65