1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

1) Докажем, что АВ ⊥ ОО₁.

В ΔОАО₁ и ΔОВО₁:

ОА = ОВ (как радиусы),

О₁А = О₁В (как радиусы),

ОО₁ — общая.

Таким образом, ΔОАО₁ = ΔОВО₁ по 3-му признаку равенства треугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO₁K = ∠BO₁K.

В ΔАОВ:

ОА = ОВ, следовательно, ΔАОВ — равнобедренный, ∠AOK = ∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к. ΔАОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.

Таким образом, АВ ⊥ ОО₁.

2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.

Допустим, что две окружности с центрами О и О₁ пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ⊥ ОО₁, АВ ⊥ ОО₁, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО₁.

Таким образом, мы пришли к противоречию.