Апофема правильной треугольной пирамиды равен 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Апофема пирамиды является гипотенузой треугольника, в котором один катет - высота пирамиды, а другой - радиус вписанной окружности основания. Так как двугранный угол равен 60 градусам, то r=2, h=2\sqrt(3), где r - радиус вписанной окружности, h - высота пирамиды. Радиус вписанной окружности правильного треугольника в 3 раза меньше его высоты, а высота в 2/\sqrt(3) раз меньше стороны. Тогда площадь основания будет равна 3r*3r*2*\sqrt(3)/2=36\sqrt(3). Объем пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленный на 1/3. Тогда V=36\sqrt(3)*2\sqrt(3)/3=72.