Даны длины высот треугольника, опущенных из вершин A и B, и длина биссектрисы угла C. Найти угол C.

Пусть основание биссектрисы M, длина L, и пусть высота ha из А к стороне СВ (основание обозначим N), высота hb из В к стороне СА. (Внимание - ha и hb - НЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ это просто обозначения высот. Все произведения отмечены *) Тогда АВ = АМ + МВ; АМ/МB = СА/СВ; МВ = АВ/(1+СА/СВ);СА = 2*S/hb; CB = 2*S/ha; S - площадь треугольника АВС. СА/СВ = ha/hb; МВ = АВ/(1 + ha/hb);

Осталось провести перпендикуляр из точки М на сторону СВ, пусть его основание на СВ - Р. Из подобия прямоугольных треугольников PMB и ANB следует. МР/АN = MB/AB; MP = ha/(1+ha/hb) = ha*hb/(ha + hb);sin(C/2) = MP/CM = (1/L)*ha*hb/(ha + hb);