В остроугольном треугольнике АВС со сторонами АВ=18, ВС=12, АС=15 проведены высоты АА1, ВВ1, СС1, которые пересекаются в точке Н. Найдите отношение А1F : FB1, если точка F является точкой пересечения АА1 и СС1.

Смотрите чертеж, все - в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos(C)" без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.1. тр-к А1В1С подобен АВС. А1С = АС*cos(C);B1C = BC*cos(C);A1C/B1C = AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны. САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный - подобны.2. из 1 следует, что угол АВ1С1 = угол А1В1С. ВВ1 - препендикуляр к АС, поэтомуугол С1В1В = угол А1В1В. То есть В1В - БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1. САМО СОБОЙ, С1С и А1А - тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1; Вот теперь можно и задачку порешать.A1F/FD1 = В1С1/А1С1 по свойству биссектриссы, но из подобия (см 1.) и теоремы синусов следует. В1С1 = АВ1*sin(A)/sin(C) = AB*cos(A)*sin(A)/sin(C);A1С1 = А1В*sin(B)/sin(C) = AB*cos(B)*sin(B)/sin(C);Делим одно на другое, получаем A1F/FD1 = cos(A)*sin(A)/(cos(B)*sin(B)); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы... Итак, задача решена, осталось вычислить углы в треугольнике. Способов тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее - синусы и косинусы.... А можно - по теореме косинусов.12^2 = 18^2 + 15^2 - 2*18*15*cos(A); cos(A) = 3/4; sin(A) = корень(7)/4;15^2 = 18^2 + 12^2 - 2*18*15*cos(B); cos(B) = 9/16; sin(B) = корень(7)*5/16;A1F/FD1 = 16/15