Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны.

Имеем AB || A₁B₁; AC || A₁C₁; BC || B₁C₁, т.к. эти прямые лежат в плоскостях SA₁B₁, SA₁C₁, SB₁C₁ соответственно, и в параллельных плоскостях α и β. Так что ∠SAC = ∠SA₁C₁, ∠SCA = &nag;SC₁A₁, как соответственные.

И значит, ΔSAC ~ ΔSA₁C₁ (по двум углам). Аналогично, ΔSAB ~ ΔSA₁B₁, ΔSBC ~ ΔSB₁C₁.

Из подобия треугольников следует:

Так что

где К — коэффициент подобия.

А, значит, ΔABC и ΔA₁B₁C₁ гомотетичны. Что и требовалось доказать.