Из центра О правельного треугольника АВС проведен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Найти площадь треугольника МВА, если АВ= 6 корней из 3-х см. ОМ=4 см.

Решение. Т.к. АВС - правильный треугольник, то: а) его медианы совпадают с высотами и биссектрисами и пересекаются в его центре (центре вписанной в него окружности); б) радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: r=a/(2*3^(1/2)) (а делённое на 2 корня из 3-х), где а - сторона треугольника.

В прямоугольном трегольнике МОК: ОК = r = 6*3^(1/2) / (2*3^(1/2)) = 3 см,

ОМ=4 см - по условию. Тогда: MK^2 = OK^2 + OM^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25, а MK = 25^(1/2) = 5 см.

В треугольнике МВА, МК - высота. Тогда его площадь равна:

S = 1/2 * (AB * MK) = 1/2 * (6*3^(1/2) * 5) = 15 * 3^(1/2) см2 (15 корней их 3-х см квадратных)