Дан параллелограмм ABCD, в котором AB=4, AD=6, BD=5.
В вершинах этого параллелограмма помещены массы: 3А, 5В, 1С, 5D.
Пусть Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D; Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D; Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D.

Найдите:

а)Z1Z2

б)Z1Z

Решение: Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5Dточка О - точка пересечения
диагоналей параллелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
ЗначитZ1-центр тяжести 3A, 10OAZ1 :Z1O=10:3AZ1 :AO=10:13OZ1:AO=3:13AZ1:AC=10:26=5:13

Причем точка Z1 лежит на отрезке OA Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D

Точка О - точка пересечения диагоналей параллелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
ЗначитZ1-центр тяжести 1C, 10OCZ2 :Z2O=10:1CZ2 :CO=10:11CZ2:AC=10:22=5:11
Причем точка Z2 лежит на отрезке OC Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D
Точка О - точка пересечения диагоналей параллелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага.
Точка K - центр масс точек 1C,3A, она лежит на отрезке АС,
причем. АК:КС=1:3АК:АС=1:4точка Z - центр тяжести 4K,
10OZK:ZO=10:4=5:2ZK:KO=5:7ZK:AO=5:14OZ:AO=
=9:14ZK:AC=5:28AZ:AO=12/14=6/7OZ:AO=1/7 
По теореме косинусовcos (ABD)=(-AD^2+AB^2+BD^2)/(2*AB*BD)cos (ABD)=
(-6^2+5^2+4^2)/(2*4*5)=5/40=1/8АО^2=(AB^2+BO^2-2AB*BO*cos(ABD))=
=(4^2+2.5^2-2*4*2.5*1/8)=19.75AC=2AO=2*1/2*корень(79)=
корень(79) Z1Z2=AC-AZ1-CZ2=(1-5/13-5/11)*корень(79)=
=23143*корень(79)Z1Z=AO-OZ1-AZ=(1-3/13-1/14)*корень(79)/2=127/364*корень(79)