Дан треугольник ABC, в котором K принадлежит AB, AK:KB=3:2; L принадлежит BC, BL:LC=1:3; AL пересекает CK в точке T, (BT) пересекает (AC) в точке M. Найдите:

а) AT:TL

б)BT:BM

Проведём LD параллельно CK. Применим теорему про пропорциональные отрезки:KD:DB=CL:LB=1:3;AK:KD=AK:(BK:4)=6:1;AT:TL=AK:KD=6:1Проведём LE параллельно BM. Тогда из той же теоремы:ME:EC=3:1;AM:ME=6:1(из уже доказанного соотношения);а отсюда:AM:MC=18:4=9:2. В принципе, это соотношение можно получить и из теоремы Чевы. Проведём MF параллельно CK.BT:TM=BK:KF=2:(3*2/9)=3:1. Узнаём нужное, прибавив к TM BT:BT:BM=BT:(TM+BT)=3:(3+1)=3:4.Ответ: а) 6:1; б) 3:4.