Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.

В ΔABD и ΔDBC:

1) Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ∠ADB = ∠CDB = 90°, BD — общая. ΔABD = ΔCBD по двум катетам.

Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.

2) Если BD — высота и биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC, ∠ADB = ∠BDC, BD — общая. ΔABD = ΔCBD по 2 катету и двум прилежащим углам.

Откуда АВ = ВС, таким образом, ΔАВС — равнобедренный.

3) Если BD — биссектриса и медиана: Продлим BD до точки В₁, так, что BD = DB₁. В ΔABD и ΔСDB₁:

AD = DC (т.к. ВD — медиана) BD = DB₁

∠ADB = ∠CDB1 (из построения, как вертикальные).

Таким образом, ΔABD = ΔCDB₁ по 1-му признаку равенства треугольников.

Откуда ∠ABD = ∠CB₁D, АВ = В₁С. Аналогично ΔADB₁ = ΔBDC. ∠AB₁D = ∠DBC, AB₁ = BC.

Т.к. ∠ABD = ∠DBC (т.к. BD — биссектриса), то ∠ABD = ∠DBC = ∠AB₁D.

ΔВВ₁А — равнобедренный, т.к. ∠ABD = ∠AB₁D,

Таким образом, АВ = AB₁ т.к. АВ₁ = ВС, то АВ = ВС.

Следовательно, ΔАВС — равнобедренный по определению.