В треугольнике АВС проведены медианы AA1 и BB1, которые пересекаются в точке М. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
1) Так как PQ — средняя линия
то
и
— средняя линия
поэтому
и
Так как
и
то
А так же
Значит, четырехугольник
— параллелограмм, так как две его стороны параллельны и равны, чем доказано первое утверждение. 2) Докажем, что медианы
в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
средняя линия
, следовательно
Выше мы доказали, что
— параллелограмм, значит, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть
и
Получаем
Чем доказано второе утверждение задачи. 3) Проведем третью медиану
, которая пересекает медиану
в некоторой точке и, согласно доказанному во второй части задачи, эта точка должна делить медиану
в отношении 2:1, считая от точки А. Так как положение такой точки на отрезке определяется однозначно, то она совпадает с точкой М. Значит, СС1 проходит через точку М. То есть все три медианы пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.