7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

Впрямоугольном треугольнике один острый угол В=30градусам, значит второй острый угол А= 180-(90+30)=60град. В тр. АМС угол АМС=60гр., но и угол МАС (или угол А тр. АВС)=60гр., третий угол МСА= 180-2*60=60гр. У нас получился равносторонний треугольник. АМС. Но в тр. АВС катет, лежащий против угла в 30гр. равен половине гипотенузы, т.е. СА=1/2АВ. Поэтому в тр. МСА все стороны равны 1/2АВ. Рассмотрим тр. СВМ. Угол В=30гр., угол ВСМ=90-60=30гр., угол ВМС= 180-30*2=120гр. Треугольник СВМ- равнобедренный, т.к. углы при основании равны. Поэтому-стороны ВМ=МС.=1/2АВ. Значит отрезок СМ делит гипотенузу пополам, т.е. является медианой треугольника АВС.