Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
Пусть диагонали АС и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Нужно доказать, что АС + BD больше полупериметра четырехугольника ABCD, но меньше периметра. Применяя неравенство треугольника для
получим:
Сложив почленно неравенства, получим:
Рассмотрев неравенство треугольника для
получим:
2АС + 2BD < 2АВ + 2ВС + 2CD + 2AD, АС + BD < PABCD. 1/2 PABCD < АС + BD < PABCD.
Что и требовалось доказать.
Похожие задачи:
(Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану ВО.
2) На луче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2mb с суммой ВС + АВ (mb - медиана ВО).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2ma и 2mс.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму ma + mb + mc.
смотреть решение >>
1) Начертите произвольный треугольник ABC и проведите медиану ВО.
2) На луче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD?
3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2mb с суммой ВС + АВ (mb - медиана ВО).
4) Составьте аналогичные неравенства для 2ma и 2mс.
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму ma + mb + mc.
смотреть решение >>
16. Докажите, что в произвольном выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей меньше периметра этого четырёхугольника и больше его полупериметра.
смотреть решение >>
смотреть решение >>
