В кубе ABCDA1B1C1D1 через вершины A, C1, и середину ребра DD1 проведено сечение. Найти ребро куба, если площадь сечения равна \( 50\sqrt{6} \).

Обозначим на ребре ДД1 точку К. По условию Д1К=ДК=а/2. Грани куба АА1В1В и ДД1С1С параллельны. Построим на грани АА1В1В прямую параллельную КС1. Для этого возьмём на грани АА1В1В точки расположенные на перпендикулярах к плоскости основания и попарно равноудалённые от него. Это будут точки В1(ВВ1=СС1) и М(АМ=КД)). Соединим М и В1. МВ1 параллельна КС1. Из точки А параллельно МВ1 проведём прямую до пересечения с ВВ1 в точке N. Отсюда АN параллельна КС1. Полученное сечение -это ромб АNС1К. Найдём диагонали ромба NК параллельна ВД,  NК=ВД= d1=а корней из 2.  d2=корень из(АСквадрат+СС1 квадрат)=а корней из 3. Площадь сечения равна S=1/2d1*d2=1/2(а корней из 2)*(а корней из 3)=1/2а корень из 6. По условию площадь равна 50 корней из 6. Подставляем и получим а=10.