Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Длина такого отрезка равна высоте, опущенной на основание, деленной на КОСИНУС угла отрезка с этой высотой. Косинус - монотонно убывающая функция (между 0 и 180, между 0 и 90 она еще и положительна, а у нас именно такой случай), что легко видно из координатного определения (асбцисса радиуса единичной окружности, чем больше угол, тем меньше координата конца радиуса - в интервале углов от 0 до 90). Поэтому длина отрезка будет монотонно возрастать. Пока конец отрезка не достигнет вершины (конца основания).   Есть еще какая-то теорема, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, применение этой теоремы к треугольнику, образованному отрезком, боковой стороной и куском основания, сразу решает задачу... но я не помню, как эта теорема доказывается без применения тригонометрии:(((((