АВС - равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х.  h = BK - высота, r - радиус вписанной окружности. ОК = r, О - точка пересечения биссектрис - центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения - как описаны в условии.х = ?Сначала некоторые соотношения через площадь:S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7  - полупериметр. S = (x+7)rS = AC*h/2 = 7h. Приравняв, выразим h через r:h = (x+7)r/7.             (1)Из тр. АОК: tgA/2 = r/7Из тр. АВК: tgA = h/7Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2) Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2)               (2)Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r:х = (686/(49-r^2))  - 7 = (343+7r^2)/(49-r^2)                   (3)Задача сводится к нахождению r^2. Треугольники AMN и АВК - подобны  (мы провели MN перпенд. АС) АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8) Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)),AN = 7AK/8 = 49/8,  ND = AD - AN = 28 -(49/8) = 175/8Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2))             (4) Через тригонометрию:tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2)                       (5) Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2:686r/(175(49-r^2))  =  42r/(441-r^2) 7/(25(49-r^2))  =  3/(441-r^2)r^2 = 588/68 = 147/17                           (6)Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону:$$ x = frac{343*17 + 7*147}{49*17 - 147}= 10. $$Ответ: 10
  

Похожие задачи: