В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите AC

Найдем сторону ВС из прямоугольного треугольника ЕВС по теореме Пифагора, ВС=15 см.
Высоты треугольника прямо пропорциональны его сторонам: h₁:h₂=1/сторона 1:1/сторона 2
⇒ АК:СЕ=АВ:ВС, подставив известные значения найдем значение стороны АВ=12,5см. АВ=АЕ+ЕВ 
12,5=АЕ+9  АЕ=3,5см

По теореме Пифагора из треугольника АЕС-прямоугольного имеем АС=
корень из (3,5 в квадрате + 12 в квадрате)=корень из 156,25=12,5 см

ΔBEC, уголE=90⁰,BC=√(BE²+EC²)=√(81+144)=√225=15.S=
=½BC·AK=½·15·10=75.S=½AB·EC=½(AE+BE)·EC=
= ½(AE+9)·12=6(AE+9);6(AE+9)=75, 6AE+54= 75, 6AE=75-54,  
6AE=21,AE=21/6=7/2=3,5.ΔAEC, уголE=90⁰,
AC=√(AE²+EC²)=√(12,25+144)=√156,25=12,5



Ответ: АС=12,5см.