Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырехугольник — ромб.

Решение. Пусть ABCD — данный выпуклый четырехугольник, а О — точка пересечения его диагоналей. Докажем сначала, что АО = ОС, ВО = OD. Предположим, что это не так. Тогда возможны два случая: