ABCD - равнобедр. трапеция. АВ = СD,  AD = a,  BC = b, угол А = углу D = с.O - центр описанной окружности - пересечение срединных перпендикуляров. АО = ОВ = R. Проведем высоты ВМ и СК.  ВМ = СК = h.  Пусть угол BDA = x. Из пр. тр. CDK: СК = h = KD*tgc = (a-b)tgc /2                     (1) С другой стороны из пр.тр. BMD:ВМ = h = MD*tgx = (a+b)tgx /2                (2) Приравняв (1) и (2), получим:tgx = $$frac{a-b}{a+b} tgc.$$       Найдем sinx = $$frac{1}{sqrt{ctg^2x+1}}=frac{1}{sqrt{frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}}.$$         (3) Еще пригодится найти боковую сторону:CD = AB = $$frac{a-b}{2cosc}.$$    (4) И наконец из равнобедр. тр. АОВ:АВ = 2Rsinx,  так как угол АОВ = 2х (центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на одну и ту же хорду АВ). Подставив (3) и (4) в полученное выражение, получим следующее уравнение для R: $$frac{2R}{sqrt{frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}} = frac{a-b}{2cosc}.$$ Откуда получим выражение для R: $$R = frac{a-b}{4cosc}*sqrt{frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}.$$ При а = 2, b = 1,  c = 30гр, получим:R = $$frac{sqrt{28}}{2sqrt3}= frac{sqrt{21}}{3}.$$  Ответ: $$R = frac{a-b}{4cosc}*sqrt{frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1} , frac{sqrt{21}}{3}.$$    

Похожие задачи: