Докажите, что значение выражения:
а) 83⁴ + 65 кратно 81; б) 141¹⁰ + 88 кратно 139.

Решение:


a) 83⁴ + 65 = (81 + 2)⁴ + 65 = 81⁴ + 4 • 81³ - 2 + 6 • 81² • 4 + 4 • 81 • 8 + 16 + 65 = 81 • (81³ + 8 • 81² + 32 + 1) -кратно 81;
б) 141¹⁰ + 88 = (139 + 2)¹⁰ + 88.
Используя треугольник Паскаля для (139 + 2)¹⁰, очевидно, что только последний член суммы не будет кратен 139, этот член равен 2¹⁰ = 1024, 1024 + 88 = 1112 = 8 • 139. Значит 141¹⁰ + 88 - кратно 139.