Докажите, что сумма 1³ + 2³ + ... + 99³ делится на 100.

Решение:


1³ + 2³ .. + 99³ сгруппируем члены суммы таким образом, (1³ + 99³) + (2³ + 98³) + (3³ + 97³) + (4³ + 96³) + ... без пары останется только 50³, (1 + 99)(1 - 99 + 99²) + (2 + 98)(2² - 98 • 2 + 98²) + ... + (49 + 51)(49² - 49 • 51 + 51²) + 50³ =
= 100 • (1 - 99 + 99² + 2² - 98 • 2 + 98² + ... + 49² - 49 • 51 + 51²) + 1000 • 5³ = 100 • (1 - 99 + 99² + 2² - 98 • 2 + 98² + ... + 49² - 49 • 51 + 51² + 10 • 5³) - делится на 100.