Докажите неравенство:
а) а(а + b) ≥ ab;              б) m² - mn + n² ≥ mn;
в) 10а² - 5а + 1 ≥ а² + а; г) 2bс ≤ b² + с²;
д) а(а - b) ≥ b(а - b);       е) а² - а ≤ 50а² - 15а + 1.

Решение:


a) a(a + b) - ab = a² + ab - ab = a² ≥ 0 => a(a + b) ≥ ab;
б) m² - mn + n² - mn = m² + n² ≥ 0 => m² - mn + n² ≥ mn;
в) 10a² - 5а + 1 - (a² + а) = 10a² - 5а + 1 - a² - а = 9a² - 6а + 1 = (3а- 1)² ≥ 0 => 10a² - 5а + 1 ≥ a² + а;
г) b² + с² - 2bс = (b - с)² ≥ 0 => 2bс ≤ b² + с²;
д) а(а - b) - b(а - b) = a² - аb - аb + b² = (а - b)² ≥ 0 => а(а - b) ≥ b(а - b);
e) 50a² - 15а + 1 - (a² - а) = 49a² - 14а + 1 = (7а - 1)² => a² - а ≤ 50a² - 15а + 1.