Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а - наибольшее число в пропорции
a/b = c/d, где a, b, с, d - положительные числа, то верно неравенство а + d > b + с.


Решение:


a = bc/d.



Похожие задачи:
Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и b, если известно, что верны неравенства:
а) а - 3 > b - 3 и b > 4;    в) 7a > 7b и b > 1/2;
б) a - 8 > b - 8 и a < -12; г) -2а > -2b и b < -1/3?
смотреть решение >>
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0 верно неравенство:
а) (а + b)(b + с)(а + с) ≥ 8abc;
б) ((a+1)(b+1)(a+c)(b+c))/16 ≥ аbс.

смотреть решение >>
Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями:
а) {3 - 2а < 13,       в) { 2 - 6у < 14,
      5a < 17;                  1 < 21 - 5y;
б) { 12 - 6х ≤ 0,      г) { 3 - 4х < 15,
      3х + 1 ≤ 25 - х;       1 - 2х > 0.
смотреть решение >>
Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:
а) -6,5 < (7x+6)/2 ≤ 20,5; в) -2 ≤ (3x-1)/8 ≤ 0;
б) -1 < (4-a)/3 ≤ 5;           г) -2,5 ≤ (1-3y)/2 ≤ 1,5.
смотреть решение >>
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство:
а) ас + b/c ≥ 2√ab;  б) (1 + a2/bc)(1 + b2/ac)(1 + c2/ab) ≥ 8.
смотреть решение >>