Решить неравенство a - x < корень из(x² + 9), при всех a >= 0 .

Сначала полезно представить график функции у = х + √(x² + 9). Поскольку √(x²+9)>|x|,а при больших по модулю х этот корень примерно равен |x|, то на минус бесконечности график асимптотически прижимается к оси абсцисс сверху, затем плавно растёт, в точке (0;3) пересекает ось ординат, далее плавно растёт и на плюс бесконечности асимптотически прижимается к прямой у = 2х сверху. То есть это монотонно возрастающая функция.

К этому выводу можно прийти, рассмотрев её производную - она везде положительна (убедитесь в этом).


Теперь вернёмся к исходному неравенству, записав его а < x + √(x²+9). Поскольку правая часть всегда больше 0, то при а=0 решением неравенства является любое вещественное число.



Пусть теперь а>0. График функции у = а пересекает график рассмотренной ранее функции - в силу её монотонности - в одной единственной точке. Значит, решением неравенства будут являться все те х, которые больше абсциссы этой точки. Освталось найти эту абсциссу - для этого нужно решить уравнение а - х = √(x²+9). Возведя его части в квадрат и выполнив преобразования, находим х0 = (а²-9)/(2a).



Итак, получаем ответ: если а=0, то решением неравенства является любое вещественное число;
если а>0, то решением является бесконечный интервал ((a²-9)/(2a);плюс бесконечность).