При каком значении a система неравенств имеет единственное решение?
1 - 5/(x - a) <= 0, |x + a - 5| <= 2

Сначала разберёмся, какие решения могут быть у первого неравенства системы.



Если левую часть привести к одному знаменателю, то получится дробь, в числителе которой находится число х - а - 5, а в знаменателе - число х - а (замечаем, что числитель меньше знаменателя).

Значит, дробь будет не больше нуля лишь в том случае, если знаменатель строго больше нуля, а числитель - меньше или равен нулю.

Итак, х <= a + 5 (условие на числитель), x > a (условие на знаменатель). Это и есть множество решений первого неравенства. Рекомендуется нарисовать его на числовой оси, при этом точку а + 5 нарисовать жирной (она входит в множество решений), а расположенную левее её точку а - выколоть (она не входит в множество решений).



Теперь разберёмся со множеством решений второго неравенства системы.



Решив стандартным образом неравенство с модулем |x + a - 5| <= 2 (для этого тоже надо рассматривать две возможности: когда
подмодульное выражение больше или равно нулю (одно подмножество решений), и вторую: когда подмодульное выражение меньше нуля (второе подмножество решений). Объединив эти два подмножества, получим искомое множество). В данном случае получаем такое решение: 3 - a <= x <= 7 - a.

Рекомендуется нарисовать это множество на числовой прямой - но на другом листе бумаги. Здесь граничные точки выкалывать не надо.



Поскольку решение системы неравенств должно быть одним-единственным, то эти два нарисованные множества должны перекрываться в одной-единственной точке.

Наложите первый лист бумаги на второй и посмотрите сквозь них на светящуюся лампочку. Требуется совместить нарисованные на них числовые оси и сдвинуть их одну относительно другой так, чтобы два нарисованные множества перекрылись по одной-единственной точке. Это может произойти лишь в случае, когда а + 5 на первой оси совпадает с 3 - а на второй оси. Но если а + 5 = 3 - а, то а = -1. Это и есть ответ.