Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Решение:


Пусть х простое число, у частное, остаток z. х - z = 30b. Проведём доказательство от противного. Предположим что остаток от деления составное число, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 все возможные составные остатки. Число z не может быть чётным, так как х было бы чётным, противоречит условию. Тогда остаются остатки 9, 15, 21, 25, 27. Все эти числа кроме 25 можно представить в виде 3n, где n Є N. Пусть z = 3n. х - 3n = 30у. х = 3 • (10y + 1), но х простое - противоречие. Пусть z = 25х - 25 = 30у; х = 5 • (6у + 5), х - кратно 5 - противоречие. Значит z может быть простым числом или единицей.