Докажите, что р2 - 1 кратно 24, если р - простое число, большее 3.


Решение:


Имеем р2 - 1 = (р + 1)(р - 1), т. к. р простое число больше 3, значит р нечётное, и следовательно р + 1 и р - 1 последовательные чётные числа, причём одно из них кратно 4. Значит (р + 1)(р - 1) делится на 2 • 4 = 8;
Из чисел 3 последовательных чисел обязательно одно делится на 3 и так как р простое и не кратно 3, из чисел
р + 1 и р - 1 обязательно одно делится на 3. Значит (р + 1)(р - 1) кратно 3 • 8 = 24.





Похожие задачи:
Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число NN, большее 410, но меньшее 420, и сложил все натуральные числа от 1 до NN. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число pp, однако ни одно слагаемое на pp не делится. Чему равно NN?
смотреть решение >>
Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.
смотреть решение >>
Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому - среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
смотреть решение >>
(Задача исследование.) Верно ли, что если р - простое число» большее трёх, то значение выражения р2 - 1 кратно 12.

смотреть решение >>
Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

смотреть решение >>