Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Решение:


Имеем (n + 1) - n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 - n³ = 3 • (n² + n) + 1; n² + n - при чётном n кратно 2, при не чётном п также кратно 2 так как сумма двух нечётных чисел равна чётному числу. Значит 3 • (n² + n) - делится на 6, а (n + 1) - n³ при делении на 6 даёт остаток 1.