Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Решение:


Имеем а - 2, а - 1, а, а + 1, а + 2 - пять последовательных натуральных чисел (а ≥ 3);
(а - 2) + (a - 1)² + a² + (a + 1)² + (a + 2)² = a² - 4a + 4 + a² - 2a + 1 + a² + a² + 2a + 1 = a² + 4a + 4 = 5a² + 10;
1. Пусть а чётное, тогда a² = 4n, где n - натуральное число.
5a² + 10 = 20n + 10 = 10 • (2n + 1) = 5 • (4n + 2) = 2 • (10n + 5) - не может быть квадратом натурального числа, так как 10n + 5 всегда не чётное, значит при разложении числа 2 • (10n + 5); 2 встречается всего один раз.
2. Пусть а - не чётное, тогда a² = 2n + 1, где n - некоторое натуральное число. 5a² + 10 = 10n + 15 = 5 • (2n + 3). Мы представили 5a² + 10 в виде произведения двух натуральных чисел.
Значит 2n + 3 = 5, n = 1, 5a² + 10 = 25; 5a² = 15, a² = 3. Натурального числа, квадрат которого равен 3 не существует, следовательно, если а - нечётное, то 5a² + 10 нельзя представить в виде квадрата некоторого натурального числа.
Рассмотрены все случаи. Утверждение доказано.