Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:
     10n-1
а) --------;
        9
    10n+8
б) --------;
       9
     10n-4
в) --------.
       3

Решение:


Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
   10n-1                                                                                                                    10n-1
а)-------: 10n - состоит из единицы и n нулей; 10n - 1 - состоит из п девяток, Значит ------- делится на 9 без остатка.;
     9                                                                                                                           9
   10n+8
б)--------: 10n - состоит из единицы и п нулей; 10n + 8 - состоит из одной единице, n - 1 нулей и 8, сумма цифр равна 9,
      9
           10n+8
значит -------- - делится на 9 без остатка;
              9
   10n-4
в)-------: 10n - состоит из единицы и n нулей; 10n - 4 - состоит из n - 2 девяток, и б, сумма цифр кратна 3,
      3
           10n-4
значит ------ - делится на 9 без остатка.
              3 .