(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения
√n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

Решение:


√n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = √n(n + 3) • (n + 2) • (n + 2) + 1 = √(n² + 3n) • (n² + 3n + 2) + 1 =
= √(n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1 = √(n² + 3n + 1)² = n² + 3n + 1 натуральное число при любом натуральном n.