Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (а + b) (1/a + 1/b) ≥ 4;
б) a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b.

Решение:


а) (а + b) (1/a + 1/b) - 4 = (a + b) • (a+b)/ab - 4 = (a²+2ab+b²-4ab)/ab = (a-b)²/ab ≥ 0; так как
a > 0 b > 0 => (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4;
б) a/b² + b/a² - (1/a + 1/b) = (a³+b³)/a²b² - (a+b)/ab = (a³+b³-a²b-ab²)/a²b² = (a²(a-b)-b²(a-b))/a²b² =
= ((a²-b²)(a-b))/a²b² = ((a-b)²(a+b))/a²b² ≥ 0; так как a > 0; b > 0 => a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b.