Найдите все простые числа р и q, для которых р² - 2q² = 1.

Решение:


Дано: р² - 2q² = 1 => 2q² = р² - 1 => 2q² = (р - 1)(р + 1).
1. Пусть р чётное. Единственное чётное простое число это 2. 2q² = 3. Не может быть такого при простом q.
2. Пусть р не чётное. Тогда р = 2n + 1 где n какое то натуральное число, тогда
(р - 1)(р + 1) = (2n + 1 - 1)(2n + 1 + 1) = 4n - (n + 1), значит q² = 2n • (n + 1), а значит q кратно 2. Единственное простое число которое делится на 2 это 2. q = 2. 8 = р² - 1; р² = 9; р = 3.
Ответ: q = 2, р = 3.