Докажите неравенство:
а) а2 + b2 + 2 ≥ 2(а + b);
б) а2 + b2 + с2 + 5 > 2(а + b + с).


Решение:


а) а2 + b2 + 2 ≥ 2(а + b) => а2 + b2 + 2 - 2a - 2b ≥ 0 => (а2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) ≥ 0 => (a - 1)2 + (b - 1)2 ≥ 0;
б) а2 + b2 + с2 + 5 > 2(а + b + с) => а2 + b2 + c2 + 5 - 2a - 2b - 2c > 0 => (а2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) +
+ 2 > 0 => (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 + 2 > 0.





Похожие задачи:
Докажите неравенство:
а) а(а + b) ≥ ab;              б) m2 - mn + n2 ≥ mn;
в) 10а2 - 5а + 1 ≥ а2 + а; г) 2bс ≤ b2 + с2;
д) а(а - b) ≥ b(а - b);       е) а2 - а ≤ 50а2 - 15а + 1.
смотреть решение >>
Докажите неравенство:
а) (х + 1)2 ≥ 4х;   в) 4(х + 2) < (х + 3)2 - 2х;
б) (3b + 1)2 > 6b; г) 1 + (m + 2)2 > 3(2m - 1).
смотреть решение >>
Докажите,  что  уравнение х2 - у2 = 30  не имеет целых  решений.
смотреть решение >>
Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а);  в) (а - 2)2 > а(а - 4);
б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2;  г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2).
смотреть решение >>
Докажите неравенство:
а) 2b2 - 6b + 1 > 2b(b - 3);  б) (с + 2)(с + 6) < (с + 3)(с + 5);
в) р(р + 7) > 7р - 1;            г) 8у(3у - 10) < (5у - 8)2.
смотреть решение >>