Докажите,  что  уравнение х² - у² = 30  не имеет целых  решений.

Решение:


Дано х² - у² = 30. Так как х² = (-х)² будем рассматривать только положительные числа и ноль. То есть х ≥ 0, у ≥ 0.
1. Пусть х = 2n, у = 2k. х² - у² = 4 • (n² - k²) = 30; 2 • (n² - k²) = 15, но х и y целые числа. Значит данное выражение не имеет решений.
2. Пусть х = 2b + 1, у = 2k + 1; х² - у² = (2n + 1)² - (2k + 1)² = 4 • (n² + n - k² - k) = 30; 2 • (n² + n - k² - k) = 15. Очевидно, что при целых n и k; не имеет решений.
3. При х чётном, а у нечётном или наоборот, х² - у² будет нечётное число (в результате вычитания из чётного числа нечётное получится чётное) но должно быть чётным. Противоречие. Значит х² - у² = 30 не имеет целых решений.